Vous avez deux côtés d’un triangle rectangle et il vous manque le troisième ? Le calcul de l’hypoténuse repose sur une seule formule, celle du théorème de Pythagore. Voici la méthode, un exemple chiffré, puis les pièges qui font perdre des points en contrôle ou des centimètres sur un chantier.
Hypoténuse : définition et formule pour la calculer
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est toujours le côté le plus long de la figure. Les deux autres côtés, ceux qui forment l’angle droit, sont appelés côtés adjacents à l’angle droit (ou simplement côtés de l’angle droit).
La formule de Pythagore relie ces trois longueurs : c² = a² + b², où c désigne l’hypoténuse, et a et b les côtés de l’angle droit. Pour obtenir la longueur de l’hypoténuse, on prend donc la racine carrée de la somme des carrés :
c = √(a² + b²)
Prenons le cas d’école, le triangle 3-4-5. Avec a = 3 et b = 4, on calcule 3² + 4² = 9 + 16 = 25, puis √25 = 5. L’hypoténuse mesure 5, dans la même unité de longueur que les deux autres côtés.
Exemple de calcul pas à pas
Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 7 cm. Ce cas donne un résultat qui ne tombe pas juste, ce qui permet de voir aussi la question de l’arrondi.
- Repérer l’angle droit et identifier l’hypoténuse, le côté qui lui fait face. Ici, elle est inconnue.
- Calculer le carré d’un nombre pour chaque côté connu : 4² = 16 et 7² = 49.
- Additionner les deux carrés : 16 + 49 = 65.
- Prendre la racine carrée du résultat : √65 ≈ 8,06.
- Écrire la réponse avec l’unité : l’hypoténuse mesure environ 8,06 cm.
Le signe « ≈ » rappelle que la valeur est arrondie. Selon la consigne, on arrondit au dixième (8,1 cm), au centième (8,06 cm) ou on laisse la valeur exacte √65 cm.
Le test de cohérence : l’hypoténuse doit dépasser chaque côté
Avant de conclure, comparez votre résultat aux deux autres longueurs. Ici, 8,06 est bien plus grand que 4 et que 7. Si vous trouvez une hypoténuse plus courte que l’un des côtés, le calcul est faux.
Et si l’hypoténuse est connue ? Le calcul inverse
Ce cas est souvent oublié. Quand on connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit, on cherche l’autre côté en soustrayant : b = √(c² – a²). Le théorème de Pythagore reste le même, on isole simplement l’inconnue.
Exemple : l’hypoténuse mesure 10 cm et un côté mesure 6 cm. On calcule 10² – 6² = 100 – 36 = 64, puis √64 = 8. Le côté manquant fait 8 cm. Le triangle 6-8-10 est d’ailleurs un agrandissement du 3-4-5.
Les triangles rectangles à connaître
Certains triplets de nombres entiers vérifient la formule de Pythagore. Les repérer fait gagner du temps et sert aussi de vérification du résultat.
| Côté a | Côté b | Hypoténuse c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 6 | 8 | 10 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
Tout multiple de ces triplets fonctionne aussi : 9-12-15 vient du 3-4-5 multiplié par 3. Les maçons s’en servent pour contrôler un angle droit au sol avec un simple mètre ruban.
Les erreurs à éviter
La plus répandue consiste à s’arrêter à la somme des carrés. Dans l’exemple précédent, 65 n’est pas la longueur de l’hypoténuse : il faut encore appliquer la racine carrée. Un résultat de 65 cm pour un triangle dont les côtés font 4 et 7 cm devrait aussitôt éveiller des soupçons.
La deuxième erreur vient de la confusion entre l’hypoténuse et un côté de l’angle droit. On additionne alors les carrés alors qu’il fallait les soustraire. Avant de calculer, repérez toujours l’angle droit et le côté qui lui est opposé : c’est lui, et lui seul, qui porte le « c » dans c² = a² + b².
Troisième piège, les unités. Si un côté est en centimètres et l’autre en mètres, convertissez-les avant de calculer. Enfin, n’arrondissez qu’à la fin : arrondir les carrés en cours de route fausse le résultat final.
Dernier point : la formule ne vaut que pour un triangle rectangle. Sur un triangle quelconque, elle ne s’applique pas telle quelle.
Vérifier son résultat avec une calculatrice d’hypoténuse
Une calculatrice d’hypoténuse en ligne demande les deux côtés de l’angle droit et renvoie directement la longueur. C’est pratique pour contrôler un devoir ou un plan, à condition d’avoir déjà compris la méthode pour repérer une saisie erronée.
Avec une calculatrice scientifique, la touche √ suffit. Tapez √(4² + 7²) en pensant à bien fermer la parenthèse : le résultat affiché doit être 8,0622…, soit environ 8,06. Sans parenthèses, la machine ne prendrait la racine que d’une partie du calcul et donnerait une valeur absurde.
Pour une vérification manuelle, élevez votre résultat au carré : 8,06² ≈ 64,96, soit à peu près 65, la somme des carrés de départ. Si les deux valeurs concordent, le calcul est bon.
